Trabalho sobre O Princípio de Indução Completa da Matemática

Trabalho pronto escolar de matemática sobre O Princípio de Indução Completa da Matemática.

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Trabalho sobre O Princípio de Indução Completa da Matemática

As ciências naturais utilizam o método chamado de indução empírica para formular leis que devem regar determinar fenômenos a partir de um grande número de observações particulares, selecionadas adequadamente. Este tipo de procedimento, embora não seja logicamente correto, é frequentemente satisfatório: por exemplo, ninguém duvidaria de que quando um corpo é liberado ao seu próprio peso, no vácuo, na superfície da Terra, ele cai segundo a vertical local. 

A validade de um teorema matemático se estabelece de forma totalmente diferente. Verificar que uma certa afirmação é verdadeira num grande número de casos particulares não nos permitirá concluir que ela é válida em geral. Com efeito, dada a expressão f(n) = n²-n+41, considere a seguinte afirmação: para cada inteiro positivo n, o valor de f(n) é um número primo (estamos supondo aqui que o leitor está familiarizado com a noção de número primo. Para n = 1 temos que f(1) = 41. Da mesma forma, f(2) = 43, f(3)=47, caso fossemos fazendo estas contas poderíamos verificar que a afirmação é verdadeira para os primeiros 40 valores de n. Porem para n= 41 temos que f(41) = 41x41 que não é um número primo. 
Como verificar sua validade ? Evidentemente, é impossível demonstra-la em todos os casos particulares.

Para demonstrar a verdade deste tipo de propósito, que na realidade é uma sequência infinita de proposições, uma para cada inteiro positivo - Introduziremos o chamado método de recorrência ou de Indução completa. Para isso, começaremos demonstrando o seguinte resultado:

Teorema - Sejam a um Inteiro dado e S um conjunto de inteiros maiores ou iguais a que tem as seguintes propriedades:
(i)a S
(ii)Se um Inteiro k >= a pertence a S, então k+1 também pertence a S

Então S é o conjunto de todos os Inteiros  maiores ou iguais a a
Demonstração
Suponhamos que a afirmação seja falsa. Então, o conjunta S’ dos Inteiros maiores ou iguais a a que não pertencem a S e não vazia (e limitado inferiormente por a). Conforme me a proposição existe m = mim S’. 

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